Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których równanie x²-(2m+1)x
Równania kwadratowe to temat, który może budzić wiele emocji. Czasem wydają się one trudne, ale nie bójmy się ich! Dziś zajmiemy się równaniem, które ma w sobie parametr m:
x² – (2m + 1)x = 0. Wyznaczymy wartości m, które sprawią, że to równanie będzie miało rozwiązanie. Gotowi na wyzwanie? Zaczynamy!
Równanie kwadratowe o postaci ax² + bx + c = 0 znamy wszyscy, ale co zrobić, gdy pojawia się w nim parametr? No właśnie! W tym przypadku mamy równanie x² – (2m + 1)x = 0, w którym współczynniki zależą od m. Naszym celem jest znaleźć takie wartości m, dla których równanie będzie miało rozwiązania.
Na początek warto zauważyć, że mamy do czynienia z równaniem kwadratowym o współczynnikach: a = 1, b = -(2m + 1), c = 0. Standardowy sposób rozwiązywania takich równań to wykorzystanie wzoru kwadratowego, ale najpierw zróbmy krok wstecz i zastanówmy się, jak w ogóle podejść do tematu.
Równanie to możemy także rozwiązać, stosując faktoryzację. To oznacza, że powinniśmy spróbować zapisać je w postaci iloczynu dwóch nawiasów. Czy uda nam się to zrobić? Zobaczymy za chwilę!
Analiza równania
Zaczynamy od faktoryzacji. Zauważmy, że nasze równanie to x² – (2m + 1)x = 0. Możemy wyciągnąć x przed nawias, otrzymując: x(x – (2m + 1)) = 0.
To równanie jest już w postaci iloczynu dwóch czynników. Zatem, aby je rozwiązać, wystarczy przyrównać każdy z czynników do zera. Mamy zatem dwa przypadki:
1. x = 0 – to jedno z rozwiązań.
2. x – (2m + 1) = 0, czyli x = 2m + 1 – to drugie rozwiązanie.
Teraz, aby równanie miało rozwiązania, musimy odpowiedzieć na pytanie: jakie wartości m powodują, że nasze równanie jest prawdziwe?
Warunki istnienia rozwiązań
Wartość parametru m wpływa na rozwiązania równania. Wiemy, że równanie kwadratowe ma rozwiązania wtedy, gdy jego współczynniki spełniają odpowiednie warunki. W tym przypadku wystarczy zauważyć, że równanie jest postaci x(x – (2m + 1)) = 0, co daje dwa rozwiązania:
1. x = 0 – jedno rozwiązanie, które zawsze jest prawdziwe.
2. x = 2m + 1 – drugie rozwiązanie, które zależy od wartości m. Aby równanie miało sens, musimy mieć jakieś rzeczywiste rozwiązanie dla tej drugiej części. To oznacza, że m może przyjąć dowolną wartość rzeczywistą!
| Parametr m | Rozwiązanie równania |
|---|---|
| m = 0 | x = 1 |
| m = 1 | x = 3 |
| m = -1 | x = -1 |
| m = 2 | x = 5 |
Podsumowanie wyników
Po dokładnej analizie dochodzimy do wniosku, że nie ma żadnych szczególnych ograniczeń na wartość parametru m. Równanie x² – (2m + 1)x = 0 będzie miało rozwiązanie dla każdej wartości m, ponieważ zawsze istnieje rozwiązanie x = 0, a także x = 2m + 1, które zależy od m.
Ostatecznie, dla dowolnej wartości m, nasze równanie będzie miało rozwiązania, więc dla każdego m znajdą się odpowiednie wartości x. Nie musimy się więc martwić o szczególne przypadki – m może być dowolną liczbą!
To, co jeszcze warto zapamiętać, to fakt, że rozwiązania tego równania nie będą ograniczone przez żadne nierówności czy dodatkowe warunki – po prostu zawsze istnieje odpowiednia wartość m, która spełni nasze równanie kwadratowe.