Ile jest różnych liczb pięciocyfrowych, w których zapisie wykorzystano…
Matematyka ma to do siebie, że nie zna granic… ani nudnych, ani zbyt prostych zagadnień. Dziś rzucimy okiem na liczby pięciocyfrowe, ale nie byle jakie! Zastanowimy się, ile jest takich liczb, w których zapisie pojawiły się różne cyfry. Bez zbędnego zamieszania, przejdźmy do szczegółów!
Podstawowe zasady tworzenia liczb pięciocyfrowych
Na początek trzeba przyjrzeć się, jak w ogóle tworzymy liczby pięciocyfrowe. Liczba pięciocyfrowa to taka, która składa się z pięciu cyfr, zaczynając od cyfr setek tysięcy, a kończąc na jednostkach. Kluczowym punktem jest to, że pierwsza cyfra nie może być zerem! Jeśli to zrobimy, nie będzie to liczba pięciocyfrowa, a jedynie czterocyfrowa.
Jeżeli weźmiemy pod uwagę tylko cyfry od 1 do 9 dla pierwszej cyfry, mamy już pewną liczbę opcji, aby ta cyfra była różna od zera. Na przykład, liczba 10123 jest liczbą pięciocyfrową, ale już 01023 – to już nie to!
Gdy myślimy o liczbach pięciocyfrowych, trzeba pamiętać, że każda z cyfr w liczbie może powtarzać się, ale dla tego zadania będziemy rozpatrywać przypadek, w którym każda cyfra jest unikalna. W takim wypadku sprawa staje się naprawdę interesująca – jak się do tego zabrać? Sprawdźmy w kolejnych częściach artykułu.
Ogólna liczba możliwości dla liczb pięciocyfrowych
Aby policzyć, ile jest różnych liczb pięciocyfrowych, w których użyto różnych cyfr, należy rozważyć, ile możliwości mamy dla każdej z pięciu cyfr. Na początek musimy wybrać cyfrę dla pierwszego miejsca, czyli najbardziej znaczącego miejsca w liczbie.
W pierwszym miejscu nie możemy użyć cyfry 0, więc mamy do dyspozycji 9 cyfr (1, 2, 3,…, 9). Dla drugiego miejsca możemy już wykorzystać wszystkie cyfry od 0 do 9, z wyjątkiem tej, która już została użyta na pierwszym miejscu. To oznacza, że dla drugiej cyfry mamy 9 możliwości.
W taki sposób rozważamy kolejne miejsca. Dla trzeciego miejsca mamy już tylko 8 możliwości, ponieważ dwie cyfry zostały już wykorzystane, dla czwartego miejsca – 7 możliwości, a dla piątego miejsca – 6 możliwości. W sumie, liczba takich liczb pięciocyfrowych, w których każda cyfra jest unikalna, wynosi:
9 × 9 × 8 × 7 × 6 = 27 216
Jak wygląda to w tabeli?
Jak widać, mamy już konkretną liczbę, ale może warto spojrzeć na to w formie tabeli, aby lepiej zrozumieć, jak wygląda rozkład możliwości na różnych miejscach w liczbie. Poniżej przedstawiamy tabelę, która ukazuje liczbę dostępnych możliwości dla każdej z pozycji w liczbie pięciocyfrowej:
| Pozycja | Możliwości |
|---|---|
| Pierwsza cyfra | 9 możliwości (cyfry 1-9) |
| Druga cyfra | 9 możliwości (cyfry 0-9, z wyjątkiem pierwszej) |
| Trzecia cyfra | 8 możliwości (cyfry 0-9, z wyjątkiem pierwszej i drugiej) |
| Czwarta cyfra | 7 możliwości (cyfry 0-9, z wyjątkiem trzech pierwszych) |
| Piąta cyfra | 6 możliwości (cyfry 0-9, z wyjątkiem czterech pierwszych) |
Podsumowując, sumując te wszystkie możliwości, otrzymujemy liczbę 27 216 – tyle różnych liczb pięciocyfrowych można utworzyć, używając każdej cyfry tylko raz. Zadziwiające, prawda? Ale to jeszcze nie koniec! Zastanówmy się, co się stanie, gdy dopuszczymy powtórzenia cyfr.
Czy można pozwolić na powtórzenia cyfr?
Co się stanie, gdy w liczbach pięciocyfrowych pozwolimy na powtórzenia cyfr? Oczywiście, pojawia się nowa możliwość – każda cyfra może się pojawić więcej niż raz. W takim przypadku musimy po prostu wybrać 5 cyfr z 10 dostępnych (0-9) i umieścić je w odpowiednich miejscach.
W pierwszym miejscu mamy 10 możliwości (bo możemy użyć także cyfry 0). Dla każdego kolejnego miejsca także mamy 10 możliwości, ponieważ powtórzenia są dozwolone. Tak więc liczba takich liczb pięciocyfrowych będzie wynosić:
10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000
Oto zupełnie inny wynik! Okazuje się, że w przypadku dozwolonych powtórzeń cyfr, mamy aż 100 000 różnych liczb pięciocyfrowych. Oczywiście, w tym przypadku nie musimy już się martwić, czy cyfry się powtarzają, bo mogą występować wielokrotnie w różnych miejscach liczby. Co za różnica, prawda?